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Partie 1 : Systèmes de numération
1. Base d’un système de numération
1.1 Principe d'une base
1.2 Système décimal
1.3 Système binaire
1.4 Système octal
1.5 Système hexadécimal
1.6 Autres systèmes de codage
1.6.a Code gray ou binaire réfléchi
1.6.b Le code BCD
1.7.c Le code ASCII
1.7 Tableau récapitulatif des différents codes binaires
2. Changement de base
2.1 Conversion d’un nombre d’une base « b » en un nombre décimal
2.2 Conversion d’un nombre décimal en un nombre d’une autre base
2.3 Conversion d’un nombre hexadécimal en binaire
2.4 Conversion d’un nombre binaire en hexadécimal
3. Les opérations en binaire
3.1 L’addition
3.2 La multiplication
3.3 La soustraction
3.4 La division
4. Représentation des nombres
4.1 Le binaire signé : Représentation d'un entier relatif
4.1.a Représentation Signe - Valeur absolue
4.1.b Représentation par complément à 2
4.1.c Représentation biaisée (par excès)
4.2 Représentation à "virgule fixe"
4.3 Représentation "à virgule flottante"
Partie 2 : Algèbre de Boole
1. Généralités
2. Définitions
2.a Variable logique ou variable binaire
2.b Fonction logique
2.c Table de vérité
2.d Forme canonique
3. Les fonctions logiques fondamentales
3.a Fonction NON ou "NO"
3.b Fonction OU ou "OR"
3.c Fonction ET ou "AND"
4. Lois de l'algèbre de Boole
Partie 3 : Dénombrement
1. Principes de base du dénombrement
1.a Principe de la somme
1.b Principe du produit (ou principe multiplicatif)
2. Dénombrement des p-listes
3. Dénombrement des Arrangements et des Permutations
4. Dénombrement des Combinaisons
Partie 4 : Probabilité
1.Vocabulaire
2.Calcul des probabilités de base
2.a Loi de probabilité sur un univers
2.b l'équiprobabilité
2.c Calcul de la probabilité de A B
2.d Probabilités conditionnelles et Indépendance
3.Variables aléatoires
3.a Caractéristiques des variables aléatoires
3.b Indépendance de deux variables aléatoires
3.c Opérations sur les variables aléatoires
4.Loi binomiale & Loi de Poisson
4.a Loi binomiale
4.b Loi de Poisson
5.Loi normale
5.a Variables aléatoires continues
5.b Définition et propriétés de la loi normale
5.c Paramètres de aX + b, X + Y , X − Y
5.d Calcul pratique
Partie 5 : Statistiques
1. Vocabulaire
2. Etude d’un caractère discret
2.a Moyenne
2.b Variance et écart type
2.c Médiane
2.d Mode et étendue
3. Cas d’un regroupement par classes de valeurs
3.a Moyenne
3.b Médiane
3.c Classe modale
4. Représenter graphiquement des données statistiques
4.a Cas des données non numériques
4.b Cas des données numériques non regroupées en classes
4.c Cas des données numériques regroupées en classes
1. Base d’un système de numération
1.1 Principe d'une base
La base est le nombre qui sert à
définir un système de numération.
a base du système décimal est dix alors que celle du système octal est
huit. Quelque soit la base numérique employée, elle suit la relation suivante :
ou : bi : chiffre de la base de rang i
et : ai
: puissance de
la base a d'exposant de rang i
Exemple : base 10
1986 = (1 x 103) + (9 x 102) + (8 x 101) + (6 x 100)
1.2 Système décimal
C’est le système de base 10 que nous
utilisons tous les jours. Il comprend
dix symboles différents: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et
9.
Tout nombre écrit dans le système
décimal vérifie la relation suivante : 745 = 7 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1
745 = 7 × 10 × 10 + 4
× 10 + 5 × 1
745 = 7 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100
Chaque chiffre du nombre est à multiplier par une puissance
de 10 : c'est ce que l'on nomme le poids du chiffre.
L'exposant de cette puissance est
nul pour le chiffre situé le plus à droite et s'accroît d'une unité pour chaque
passage à un chiffre vers la gauche.
Cette méthode de
décomposition sera utilisée pour toutes les autres bases.
Par convention nous
l’écrirons N= (745)10. L’indice '10' indique la base dans
laquelle le nombre est écrit. Nous verrons plus tard que cela a son importance.
1.3 Système binaire
Ce
système dit de base 2 comprend deux symboles différents : 0 et 1. Chacun
d’eux est aussi appelé bit qui est la contraction de l’anglais binary
digit (élément binaire).
Exemple : (1001 1011)2 est un
nombre binaire de 8 bits.
Pour écrire un chiffre
on ne peut utiliser que ces deux symboles. Ainsi l'écriture suivante est
correcte : N = (11001)2. Par contre l'écriture suivante ne
l'est pas : N = (201253)2. Dans cette dernière écriture les
symboles 2, 3 et 5 sont interdits car la base utilisée est la base binaire
(indiquée par l'indice 2).
Tout ceci est très bien, mais que
vaut le chiffre (11001)2 dans la base 10 (qui est pour nous
la base naturelle) ?
Tout d'abord nous allons décomposer le nombre dans sa base
(comme ci-dessus). Nous avons donc :
N = (11001)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 0.20
Il ne reste plus qu'à calculer ce que nous venons
d'écrire, ainsi N vaut (25)10.
En utilisant n bits, on peut former 2n nombres différents et le plus grand d’entre eux est égal à 2n-1. Par exemple
avec un dispositif à 3 bits (n = 3), on peut représenter 23 = 8 nombres différents dont le plus grand est (111)2 =
(7)10.
Quelques définitions :
Mot binaire : En
informatique, l’unité de traitement de l’information est le mot
binaire (en anglais Binary Word).
Nota : - Un
ensemble de 4 bits (Ou Mot de 4 bits) = Quartet
- Un ensemble de 8
bits (Ou Mot de 8 bits) = Octet.
Octet : Un
octet (en anglais byte) est composé de 8 bits
:
On distingue
:
- Le bits de poids fort b7 (MSB : Most Significant Bit).
- Le bits de poids faible b0 (LSB : Least Significant Bit).
Autres unités :
·
Un kilooctet
(Ko) = 210 octets = 1024 octets
·
Un Mégaoctet (Mo) = 220 octets = 1024 Ko = 1 048 576 octets
·
Un Gigaoctet
(Go) = 230 octets = 1024
Mo = 1 073 741 824 octets
·
Un Téraoctet (To) = 240 octets = 1024 Go = 1 099 511 627 776 octets
Remarque : Il
est utile de noter que la communauté internationale dans son ensemble utilise
préférentiellement le nom de "byte" plutôt que le terme "octet" purement
francophone. Cela donne les
notations suivantes pour kilobyte, mégabyte, gigabyte et terabyte : KB, MB, GB,
TB. Notez l'utilisation d'un B majuscule pour différencier Byte et bit.
1.4 Système octal
Le
système octal utilise
un système de
numération ayant comme
base 8 (octal
=> latin octo = huit).
Il faut noter que dans ce système
nous n'aurons que 8 symboles seulement : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Ainsi, un
nombre exprimé en
base 8 pourra
se présenter de
la manière suivante
: (745)8
Lorsque l'on écrit un
nombre, il faudra bien préciser la base dans laquelle on l'exprime pour lever
les éventuelles indéterminations (745 existe aussi en base 10). Ainsi le nombre
sera mis entre parenthèses (745 dans notre exemple) et indicé d'un nombre
représentant sa base (8 est mis en indice).
Cette base obéira aux même règles
que la base 10, vue précédemment, ainsi on peut décomposer (745)8 de la façon suivante :
(745)8 = 7 × 82 + 4 × 81 + 5 × 80
(745)8 = 7 × 64 + 4 × 8 + 5 ×
1
(745)8 = 448 + 32 +
5
Donc : (745)8 = (485)10
1.5 Système hexadécimal
Le système hexadécimal
est le système de numération à base 16. Il est utilisé dans
les calculateurs numériques car
la représentation d’un nombre décimal est plus claire que sa représentation
binaire. En effet, (3561)16 = (0011 0101 0110 0001)2.
Ce
système comprend 16 symboles constitués par les dix chiffres du système décimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et
les 6 premières lettres de l’alphabet A, B, C, D, E, F.
Les valeurs des différentes lettres sont : A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 et F=15.
Exemple
:
N = (5AF)16 . Ce nombre N peut se
décomposer comme suit : (5AF)16 = 5 × 162 + A × 161 + F × 160
En remplaçant A et F
par leur équivalent en base 10, on obtient : (5AF)16 = 5 × 162 + 10 ×161 + 15 × 160
(5AF)16 = 5 × 256 + 10 ×16 + 15 × 1 Donc : (5AF)16 = (1455)10
1.6 Autres systèmes de codage
1.2.a Code gray ou binaire réfléchi
C’est le système de
codage qui, contrairement au code binaire pur est arrangé de manière à ne faire changer d’état qu’une variable à la
fois d’une ligne à l’autre. Ce code est très utile pour les codeurs absolus afin
d'éviter les erreurs.
Exemple :
Code binaire pur
|
||||
Nombre(10)
|
23
|
22
|
21
|
20
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
0
|
1
|
0
|
3
|
0
|
0
|
1
|
1
|
4
|
0
|
1
|
0
|
0
|
5
|
0
|
1
|
0
|
1
|
6
|
0
|
1
|
1
|
0
|
7
|
0
|
1
|
1
|
1
|
8
|
1
|
0
|
0
|
0
|
9
|
1
|
0
|
0
|
1
|
Code binaire réfléchi
|
||||
Nombre(10)
|
a
|
b
|
c
|
d
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
0
|
1
|
1
|
3
|
0
|
0
|
1
|
0
|
4
|
0
|
1
|
1
|
0
|
5
|
0
|
1
|
1
|
1
|
6
|
0
|
1
|
0
|
1
|
7
|
0
|
1
|
0
|
0
|
8
|
1
|
1
|
0
|
0
|
9
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1.6.b Le code BCD
BCD vient de Binary
Coded Decimal (en français « Décimal Codé en Binaire »). La
représentation d'un nombre décimal en BCD est très simple. Il suffit
de transformer chaque chiffre en binaire naturel sur 4 bits,
sans faire de calcul.
Exemple : Transformation du nombre N = (1024)10
Si maintenant on met bout à bout chaque nombre binaire nous obtenons : (1024)10 = (0001000000100100)BCD = (1000000100100)BCD
1.1.c Le code ASCII
La mémoire de
l'ordinateur conserve toutes les données sous forme numérique. Il n'existe pas
de méthode pour stocker directement les caractères. Chaque caractère possède
donc son équivalent en code numérique:
c'est le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange traduit " Code Americain Standard pour l'Echange
d'Informations"). Le code ASCII de base représentait les caractères sur 7
bits (c'est-à-dire 128 caractères possibles, de 0 à 127). Le
huitième bit est un bit de parité.
Parité
L' intérêt particulier des contrôles de parité est de vérifier qu' aucune erreur simple ne se produit
lors du transfert d' un mot d' une mémoire à une autre.
L' intérêt particulier des contrôles de parité est de vérifier qu' aucune erreur simple ne se produit
lors du transfert d' un mot d' une mémoire à une autre.
Exemple
: Y = 59 (hexadécimal) Y =
101 1001
Table des codes de caractères ASCII
Les codes 0 à 31 sont
des caractères de contrôle car ils permettent de faire des actions telles
que le retour à la ligne (CR), un Bip
sonore (BEL)...
Les majuscules sont
représentées par Les codes 65 à 90 et les minuscules par les codes 97 à 122. En
modifiant le 6ème bit nous passons de majuscules à minuscules, c'est-à-dire en
ajoutant 32 au code ASCII en base décimale.
Les codes de contrôle ASCII
NUL
|
Nul
|
DLE
|
Echappement transmission
|
SOH
|
Début d’entête
|
DC1
|
Commande d’appareil
|
STX
|
Début de texte
|
DC2
|
Commande d’appareil
|
ETX
|
Fin de texte
|
DC3
|
Commande d’appareil
|
EOT
|
Fin de transmission
|
DC4
|
Commande d’appareil
|
ENQ
|
Interrogation
|
NAK
|
Accusé de
réception négatif
|
ACK
|
Acquittement
|
SYN
|
Synchronisation
|
BEL
|
Sonnerie ou alarme
|
ETB
|
Fin de
bloc de transmission
|
BS
|
Espacement arrière
|
CAN
|
Annulation
|
HT
|
Tabulation horizontale
|
EM
|
Fin de support
|
LF
|
Interligne
|
SUB
|
Substitution
|
VT
|
Tabulation verticale
|
ESC
|
Echappement
|
FF
|
Présentation
de formule
|
FS
|
Séparateur de fichier
|
CR
|
Retour chariot
|
GS
|
Séparateur de groupe
|
SO
|
Hors code
|
RS
|
Séparateur d’article
|
SI
|
En code
|
US
|
Séparateur de
sous article
|
DEL
|
Oblitération
|
Le code ASCII a été mis
au point pour la langue anglaise, il ne contient donc pas de caractères
accentués, ni de caractères spécifiques à une langue. Pour coder ce type de
caractère il faut recourir à un autre code. Le code ASCII a
donc été étendu à 8 bits (un octet) pour pouvoir coder plus de caractères (on
parle d'ailleurs de code ASCII étendu).
Exemple d'une table
de code étendu :
Remarque : Mais malgré l’utilisation du code ASCII étendu certains
caractères comme les caractères des langues qui n'ont pas d'alphabet latin
(comme l'arabe ou le chinois) ne peuvent pas être codé.
Le code ASCII tend à
être remplacé par le standard unicode.
Ce standard code chaque caractère sur 16 bits, ce qui laisse 65536
possibilités. Cela en laisse assez pour coder toutes les langues du mondes (ou
presque) ainsi que des caractères spéciaux.
1.7 Tableau récapitulatif des différents codes binaires
2. Changement de base
2.1 Conversion d’un nombre d’une base « b » en un nombre décimal
Avec ce que nous venons
de voir, la transformation est relativement facile. Il suffit de suivre les étapes suivantes :
1.
Décomposer
le nombre dans sa base.
2.
Remplacer
éventuellement les symboles dans leur équivalent décimal.
3.
Effectuer
l'opération pour avoir un résultat en base 10.
2.2 Conversion d’un nombre décimal en un nombre d’une autre base
Méthode : diviser le nombre décimal à convertir par la base b et
conserver le reste de la division. Le quotient obtenu est divisé par b et
conserver le reste. Il faut répéter l’opération sur chaque quotient obtenu.
Les restes successifs sont écrits, en commençant par le dernier, de la
gauche vers la droite pour former l’expression de (N)10 dans le système de base b. Cette méthode est dite Méthode de la division successives.
Pour le nombre décimal 413, nous
obtenons :
Une « suite des dividendes », 413,
206, 103, 51, 25, 12, 6, 3, 1
Une « suite des quotients », 206, 103,
51, 25, 12, 6, 3, 1, 0
Une « suite des restes », 1, 0, 1,
1, 1, 0, 0, 1, 1
La méthode classique pour obtenir le
codage Binaire Naturel est de juxtaposer les nombres de la suite des restes,
prise à l’envers, soit : (413)10 = (110011101)2
On peut aussi considérer la suite
des dividendes, prise à l’envers, suite qui commence toujours par 1, soit ici : 1, 3, 6, 12, 25, 51, 103,
206, 413. En remplaçant par 1 les nombres impairs et 0 les
nombres pairs, on obtient : 1, 1, 0,
0, 1, 1, 1, 0, 1, une suite de chiffres qui, juxtaposés, donnent le codage
Binaire Naturel.
2.3 Conversion d’un nombre hexadécimal en binaire
Chaque symbole du nombre écrit dans
le système hexadécimal est remplacé par son équivalent écrit dans le système binaire.
Exemple : N = (ECA) 16 = (1110 1100 1010)2.
E C A
2.4 Conversion d’un nombre binaire en hexadécimal
C’est l’inverse de la
précédente. Il faut donc regrouper les 1 et les 0 du nombre par 4 en commençant
par la droite, puis chaque groupe est remplacé par le symbole hexadécimal correspondant.
Exemple :
N = (1 1000 0110 1111)2 = ( 1
8 6 F
)16.
0001 1000 0110 1111
3. Les opérations en binaire
3.1 L’addition
On procède comme en décimal. Quand
le résultat de la somme d'une colonne est supérieure à 1 (utilise plus de 1
bit), on passe ce bit au voisin de gauche.
Exemple : 1011 + 1001
3.2 La multiplication
Dans la multiplication binaire, on procède comme en décimal.
Exemple : 1101 × 101
3.3 La soustraction
Dans la soustraction binaire, on peut procéder comme en
décimal :
·
Quand la quantité à soustraire est supérieure à la quantité dont on
soustrait, on « emprunte » 1 au voisin de gauche.
En binaire, le « 1 » emprunté va
ajouter « 2 » à la quantité dont on soustrait, tandis qu'en décimal il ajoute «
10 ».
Exemple : 1010 - 0111
La division binaire s'effectue à
l'aide de soustractions et de décalages, comme la division
décimale, sauf que les digits du quotient ne peuvent être que 1 ou 0.
Le bit du quotient est 1 si on peut
soustraire le diviseur, sinon il est 0. Pour l'instant, on ne fait que la
division entière.
Exemple : 10110 / 11
4. Représentation des nombres
1.1 Le binaire signé : Représentation d'un entier relatif
Un entier relatif est un
entier pouvant être négatif. Il faut donc coder le nombre de telle façon que
l'on puisse savoir s'il s'agit d'un nombre positif ou d'un nombre négatif, et
il faut de plus que les règles d'addition soient conservées.
1.1.a Représentation Signe - Valeur
absolue Principe :
·
Le bit le
plus signifiant (bit de gauche) représente le signe : 0 pour "plus" et 1
pour "moins".
·
La valeur
absolue est donnée par le reste des bits.
Exemple :
Cette méthode semble
très simple.
Pour
n bits les valeurs extrêmes sont : 2( n - 1 ) – 1
On peut écrire autant de positifs que de négatifs.
Cette présentation est appelée représentation signe-valeur absolue mais
comporte deux inconvénients de taille:
· Il y a manifestement deux zéros (un
"zéro positif" un "zéro négatif" ! )
· Les opérations ne se font manifestement pas
facilement comme le montre l'exemple suivant :
Binaire 4 Bits
|
Décimal
|
||
Nombre 1
|
0100
|
+ 4
|
|
Nombre 2
|
1011
|
- 3
|
|
Somme
|
1111
|
- 7
|
Faux !
|
4.1.b Représentation par complément à 2
·
un entier relatif positif ou nul sera représenté en binaire (base 2) comme
un entier naturel, à la seule différence que le bit de poids fort représente le
signe. Il faut donc s'assurer pour un entier positif ou nul qu'il est à zéro (0
correspond à un signe positif, 1 à un signe négatif). Ainsi si on code un entier naturel sur 4 bits, le nombre
le plus grand sera 0111 (c'est-à-dire 7 en base décimale).
D'une manière
générale le plus grand entier relatif positif codé sur n bits sera 2n-1-1.
·
un entier
relatif négatif grâce au codage complément à deux :
Principe : soit à représenter un nombre négatif.
o Prenons son opposé (son équivalent en positif)
o On le représente en base 2 sur n-1 bits
o On complémente chaque bit (on
inverse, c'est-à-dire que l'on remplace les zéros par des 1 et vice-versa)
o
On ajoute 1
On remarquera qu'en
ajoutant le nombre et son complément à deux on obtient 0.
Exemple :
On désire coder la valeur -5 sur 8
bits. Il suffit
·
d'écrire 5 en
binaire: 00000101
·
de complémenter
à 1: 11111010
· d'ajouter
1: 11111011
·
la représentation binaire de -5 sur 8 bits est 11111011 Remarques:
Le bit de poids fort
est 1, on a donc bien un nombre négatif
Si on ajoute 5 et -5 (00000101 et
11111011) on obtient 0 (avec une retenue de 1)
4.1.c Représentation biaisée (par excès)
Une autre possibilité de codage des
entiers signés consiste en ce qu'on appelle une représentation biaisée
("biased" en anglais), également appelée représentation par excès.
Celle-ci, très simple, consiste à
considérer tout nombre codé comme un entier non signé auquel on soustrait une constante, ou biais.
Généralement, ce biais est égal à
la médiane de l'ensemble représentable, c'est-à-dire 128 pour une représentation sur un octet.
Exemple :
Base 10
|
Base 2 signée
biaisée par 128
|
+127
|
1111 1111
|
+126
|
1111 1110
|
+2
|
1000 0010
|
+1
|
1000 0001
|
0
|
1000 0000
|
-1
|
0111 1111
|
-2
|
0111 1110
|
-126
|
0000 0010
|
-127
|
0000 0001
|
4.2 Représentation à "virgule fixe"
A l'instar de la définition des
nombres binaires naturels, nous pourrions définir un réel positif par une
convention du même type :
Exemple : le nombre 1010,101 peut représenter la somme suivante :
On peut rigoureusement démonter que
tout nombre réel positif pourrait ainsi écrit de cette manière.
Resterait à décrire le signe, ce qui
peut être fait par un bit particulier (bit de signe) ou par une convention de
type complément à deux. Beaucoup de ces variantes ont été utilisées dans les calculateurs. Exemple du calcul inverse : traduire en binaire le nombre 78,347 Partie entière : 78 Nous opérons une suite de divisions par 2 et retenons les divers restes. Ces restes sont repris à l'envers
Partie non entière : 0,347
Résultat final :
78,347 écrit en
décimal représente 1001110,0101100011 écrit
en binaire à moins de 2 -11
près
Reste cependant que cette méthode est souvent dispendieuse en nombre de bits !
Imaginons que l'on veuille écrire tous les réels de 0 à 65 635.
Le sous-ensemble d'entiers de cet intervalle s'écrit sous 16 bits : 216 = 65 536.
Si la précision
maximale que nous voulons atteindre est seulement de 1/216-1 = 1/65 535 Nous devrons écrire
seize chiffres après la virgule ;
Exemple 1010 0101 1100 1111,0110 1110 1101 0111
Pour de petits
nombres, il y
gaspillage de bits
à gauche de
la virgule :
101,001001100 Pour des nombres à
peu de décimales, il y aura gaspillage de bits après la virgule : 1100 1111,01
Néanmoins ce système est réellement employé dans certains types de calculateurs.
4.3 Représentation "à virgule flottante"
Rappelons ce qu'est la notation scientifique des nombres
réels :
En "notation
scientifique" dite "à virgule flottante" - 0,006234 s'écrit -
6.234 e-3 ou - 6.234 E-3 Cette notation est l'équivalent de : 6,234. 10 - 3
Notons que :
· Le nombre est précédé de son signe (ici -)
· La partie entière (ici 6) en valeur absolue
est un nombre d'un seul chiffre de 1 à 9
(pas zéro)
·
La partie décimale (ici 234) est séparée de la partie entière par un point
(US) ou une virgule (EU)
· Un exposant décimal entier relatif suit la lettre e
ou E : e-3 ou E-3 signifient 10-3
91234.56 s'écrirait 9.123456e4 ; équivalent de 9.123456. 104
Quelques exemples de formats binaires à virgule flottante à 32, 64
Exemple :
Traduisons en binaire format
flottant simple précision 32 bits (float) le nombre : x = - 6,625 (écrit ici en décimal)
Occupons-nous d’abord de sa valeur
absolue 6,625 Traduisons ce nombre en binaire
:
6,625 décimal = 110,1010 binaire
Nous constituons la mantisse : 1, mantisse
110,1010 = 1,101010. 22
(22 opère un décalage de 2 chiffres vers la droite après la virgule)
Nous étendons la partie
fractionnaire à 23 bits 1,101010 = 1,1010 1000 0000 0000 0000 000
Mantisse sur 23 bits = 101 0100 0000 0000 0000 0000
(On ne mémorise pas le 1 implicite d'avant la virgule)
Nous rappelons le décalage IEEE en simple précision 8
bits : 28 - 1 - 1 = 127
Nous constituons l'exposant : exposant
= 2+ décalage = 129
129 décimal
= 1000 0001 binaire
Voici le résultat : bit de signe - exposant – mantisse
En hexadécimal C0 D4 00
00
Le bit de signe (bit b31) positionné
à 1 indique un nombre réel négatif ! L'opposé de - 6,625, soit + 6,625,
s'obtient en mettant le bit de signe b31 à 0
+ 6,625 se code 40 D4 00 00 en hexadécimal
1. Généralités
De nombreux dispositifs électronique,
électromécanique, (mécanique, électrique, pneumatique, etc...) fonctionnement
en TOUT ou RIEN.
Ceci sous-entend
qu’ils peuvent prendre 2 états.
Exemple :
·
arrêt marche
·
ouvert fermé
·
enclenché déclenché
·
avant arrière
·
vrai faux
·
conduction blocage
Pour ces raisons, il est
beaucoup plus avantageux d'employer
un système mathématique
n'utilisant que 2 valeurs numériques (exemple O ou 1) pour étudier les
conditions de fonctionnement de ces dispositifs. C'est le système binaire
L'ensemble des règles mathématiques
qui pourront être utilisées avec des variables ne pouvant prendre que 2 valeurs
possibles représente : "L'algèbre
de Boole"
Partie 2 : Algèbre de Boole
2. Définitions
2.a Variable logique ou variable binaire
La
variable logique est une grandeur
qui peut prendre 2 valeurs
qui sont repérées habituellement
0 ou 1.
Cette variable binaire se note par
une lettre comme en algèbre.
Physiquement, cette variable peut
correspondre à l’un des dispositifs cités ci-dessus dont les 2 états représentent les 2 valeurs possibles
que peut prendre cette variable.
2.b Fonction logique
Une fonction logique est le résultat
de la combinaison d'une ou plusieurs variables logiques reliées entre elles par des opérations
mathématiques Booléennes bien définies :
La valeur résultante de cette
fonction dépend de la valeur des variables logiques, mais de toute façon cette
résultante ne peut être que 0 ou 1.
Une fonction logique possède
donc une ou des variables logiques
d'entrée et une variable logique de sortie.
Cette fonction
logique se note par une lettre comme en algèbre.
En réalité ces fonctions
sont assurées par des composants électroniques admettant des signaux
électriques en entrée, et restituant un signal en sortie. Les signaux
électroniques peuvent prendre une valeur de l'ordre de 5 Volts (c'est l'ordre
de grandeur général) que l'on représente par un 1, ou 0 V que l'on représente par un 0.
2.c Table de vérité
Table de correspondance
entre les variables binaires traitées par une fonction logique
et le résultat de la fonction logique.
Exemple de fonction logique : la fonction interrupteur I est la valeur de l'interrupteur, 1
pour ouvert, 0 pour fermé. L est
l'état de la lampe située après l'interrupteur. f(L)=I, L est fonction
de I.
La table de vérité est :
I
|
L
|
0
|
0
|
1
|
1
|
Deuxième exemple : éclairage d'une
salle. La salle a deux fenêtres, protégés par des volets. Elle n'est éclairée
que lorsqu'au moins une fenêtre est ouverte. a représente l'ouverture de la première fenêtre (0 pour fermée, 1
pour éclairée). b représente
l'ouverture de la deuxième fenêtre (0 pour fermée, 1 pour éclairée). S représente l'éclairage de la salle (0
pour non éclairée, 1 pour éclairée). La
table de vérité est :
a
|
b
|
S
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
S dépend de la
valeur des variables binaires a et b.
2.a Forme canonique
Pour écrire
l'équation de S
(dans le 2éme exemple
ci-dessus) en fonction
des 2 variables
il faut dire :
S=1
si a=1 et b=1 ou a=1 et b=0 ou a=0 et b=1
Autant de termes que de fois que la
fonction est égale à 1. Ce qui donne une écriture "algébrique" en
notant :
la variable
par sa lettre
si elle vaut
1 (ex : si
a vaut 1 nous écrirons
a) la variable par sa lettre surlignée si elle vaut 0. (si a vaut 0 nous écrirons a
et nous lirons a barre)
Pour la table de vérité ci-dessus, cela nous donne Cette ,
Cette forme d’écriture est appelée forme canonique.
3 Les fonctions logiques fondamentales
3.a Fonction NON ou "NO"
La fonction NON est obtenue avec une seule variable
Table de vérité :
3.b Fonction OU ou "OR"
On obtient la fonction OU avec un minimum de deux variables
La fonction X prend la valeur 1 quand l'une ou l'autre ou
les 2 variables sont à 1.
Nous l'écrivons : X = a + b ==> addition ou somme logique (Ou encore :
X = a b ==> disjonction : a ou b (ou les deux)) Nous lirons X égale a ou b.Propriétés particulières :
a + 1 = 1
a + 0 = a a + a = a
La fonction X prend la valeur 1 quand l'une et l'autre
variables sont à 1.
Nous l'écrivons : X = a . b ==>
produit logique (Ou encore : X = a b ==> conjonction : a et b ) Nous lirons X égale a et b.Propriétés particulières :
a . 1 = a a . 0 = 0
a . a = a
Symbolisation :
4. Lois de l'algèbre de Boole
Pour simplifier des circuits logiques, on a besoin de
connaître les lois de Boole.
Pour trouver ces lois on utilise les
tables de vérité des opérateurs ET, OU, NON (certains sont proches de l'algèbre traditionnelle)
1. Principes de base du dénombrement
On rappelle que le cardinal d'un
ensemble fini E, noté Card(E), représente
son nombre d'éléments.
Par exemple avec E =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, on a : Card(E) = 11
1.a Principe de la somme
Exemple :
Combien y a-t-il de carrés dont les côtés sont matérialisés sur la figure ci- contre ?
Soit E l'ensemble de
tous les carrés. Notons A1, A2, A3 et A4 l'ensemble de ces carrés ayant pour côtés respectifs 1,
2, 3 et 4 carreaux. Les sous- ensembles A1, A2, A3 et A4 constituent une
partition de E (puisqu'ils n'ont aucun élément en commun et que leur réunion
est E).
D'après le principe de la somme :
Card(E) = Card(A1) + Card(A2) + Card(A3) + Card(A4)
= 16 + 9 + 4 + 1 = 30
Il y a donc, au total 30
carrés dont les côtés sont matérialisés sur la figure ci-contre
1.b Principe du produit (ou principe multiplicatif)
Exemples :
· Un code comporte deux lettres distinctes suivies d'un chiffre non nul. Combien peut-on former de codes distincts ? Les trois étapes : choix de la première lettre, de la deuxième, puis du chiffre offrent respectivement 26, 25 et 9 possibilités. Le nombre cherché est donc 26 ´ 25 ´ 9 = 5850 codes distincts.· Nombre d'itinéraires distincts menant de A à C ? Nombre d'itinéraires "aller retour" A-C-A n'empruntant que des chemins distincts
Exemples :
· E = {0 ; 1 ; 2 ; ... ; 99}. Une
5-liste de E est par exemple (21, 12, 12, 15, 98).
· E = {a ; b ; c ; ... ; z}. Le 6-uplet (o, f, p, p, t) est une 5-liste de E.
Remarques :
·
On précise parfois p-liste "avec répétition" pour les distinguer
des arrangements qui seront évoqués au paragraphe suivant.
· On suppose que la 0-liste existe, c'est la
liste qui ne comporte aucun élément.
Exemple :
Combien y a-t-il de
numéro de téléphone commençant par 03557... ?
Les 4 numéros qui
suivent sont des 4-listes de l'ensemble {0 ; 1 ; ... ; 9}. Il y en a 104 = 10000.
3. Dénombrement des Arrangements et des
Permutations
Exemples :
·
E = {a ; b ; c ; ... ; z}. Les listes suivantes : i s t a , t r i sont deux
arrangements de 4 et 3 éléments de E.
Par contre, a r r a n g e m e n t n'est
pas un arrangement de 11 éléments de E car
ses éléments ne sont pas distincts.
·
Soit E = {s
; u ; c ; r ; e}. Les anagrammes du mot s u c r e sont des permutations de E.
Dans tout ce qui suit,
nous noterons n! le produit 1
´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n, ce produit
s'appelle "factorielle n".
On convient que 0! = 1.
Exemples :
·
E = {a ; b ; c ; ... ; z}. Les listes suivantes : i s t a , t r i sont deux
arrangements de 4 et 3 éléments de E.
Par contre, a r r a n g e m e n t n'est
pas un arrangement de 11 éléments de E car
ses éléments ne sont pas distincts.
·
Soit E = {s
; u ; c ; r ; e}. Les anagrammes du mot s u c r e sont des permutations de E.
Dans tout ce qui suit,
nous noterons n! le produit 1
´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n, ce produit
s'appelle "factorielle n".
On convient que 0! = 1.
Applications :
·
De combien
de façons peut-on repartir 7 stagiaires sur 7 ordinateurs ?
Désignons par p1, p2,
..., p7 les 7 stagiaires et posons E = {p1 ; p2 ; ... ; p7}. Une répartition
peut se voir comme un arrangement des 7 éléments de E c'est-à-dire une
permutation de E, il y en a 7! = 5040.
· Un porte manteau comporte 5 patères. De combien
de façons peut-on y accrocher 3 manteaux différents ? (Au plus un manteau par patère)
Notons P1, ..., P5 les 5
patères. Chaque rangement peut se voir comme un 3-arrangement de l'ensemble
{P1, ..., P5}. Par exemple, P2P1P4 signifie "manteau n°1 sur P2, manteau
n°2 sur P1 et manteau n°3 sur P4".
4. Dénombrement des Combinaisons
Exemple :
E = {a ; b ; c} et p = 2. Les combinaisons de deux éléments
de E sont les parties : {a ; b}, {a ; c}
et {b ; c}.
Il est essentiel de noter que :
· Dans une partie, les éléments sont deux à
deux distincts.
· Deux parties qui contiennent les mêmes
éléments sont égales.
Ainsi {a ; b} = {b ; a}. (L'ordre dans lequel on écrit les éléments n'a pas d'importance)
1. Vocabulaire
1. Calcul des probabilités de base
1.a Loi de probabilité sur un univers
On note l'événement élémentaire
"obtenir 1" est noté abusivement 1. Idem pour les autres. D'après le
principe, P(A) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) =
0,3
Calculer la
probabilité d'obtenir 6 :
D'après la définition, P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) +
P(6) = 1, donc P(6) = 0,5.
2.b l'équiprobabilité
Exemple :
On lance un dé (non truqué) ; W = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} : situation d'équiprobabilité.
· Calculons la probabilité
d'obtenir 5 : P(5) = 1/6. (5 est un événement élémentaire)
· Calculons la probabilité
d'obtenir un nombre pair ; P("obtenir un nombre pair") = 3/6 = 1/2.
2.c Calcul de la probabilité de A È B
2.d Probabilités conditionnelles et Indépendance
3. Variables aléatoires
3.a Caractéristiques des variables aléatoires
4. Loi binomiale & Loi de Poisson
4.a Loi binomiale
On considère une
expérience aléatoire qui a deux issues possibles : réussite ou échec. On notera
p la probabilité de réussite et q la probabilité d’échec. On a alors p+q = 1.
Une telle expérience est appelée épreuve de Bernoulli.
Exemple : une
épreuve consiste à lancer un dé. On gagne si l’on obtient un 6. On a donc p
=1/2 et q =1/2
On répète maintenant n
fois la même épreuve de Bernoulli, de façon à ce que chaque épreuve soit
Indépendante des autres. On note alors X la variable aléatoire égale au nombre
total de succès. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de
paramètres n et p, et notée B(n, p).
Critères permettant d’utiliser la loi binomiale
Il faut savoir justifier
l’utilisation d’une loi binomiale dans une situation donnée. Pour cela, on vérifiera les points suivants :
–
on a affaire à une épreuve de Bernoulli comportant deux issues possibles
réussite et échec, de probabilités p et q respectivement.
–
On répète n fois cette épreuve et les n
réalisations sont indépendantes (c’est notamment le cas des tirages avec remise).
– La variable aléatoire X est égale au nombre
de réussites.
Dans ces conditions, on peut conclure que X suit la loi
binomiale de paramètres n et p.
4.b Loi de Poisson
La loi de Poisson est utilisée
lorsqu’on étudie un phénomène rare dans certaines conditions. Exemples typiques
d’utilisation de la loi de Poisson : X est le nombre de voitures qui passent à
un péage par tranche de 15 min ; X est le nombre de fautes de frappe par page
de cours de maths (il s’agit l`a d’événements très rares).
5. Loi normale
5.a Variables aléatoires continues
5.b Définition et propriétés de la loi
5.c Paramètres de aX + b, X + Y , X − Y
On a vu dans partie 3.c
les règles relatives au calcul de l’espérance, de la variance et de
l’écart type de aX + b, de X + Y et de X
− Y . Si on applique ces règles dans
le cas de variables aléatoires suivant des lois normales, on
obtient les résultats suivants :
..
